プログラムでオイラー数を求めてみる

オイラー数については良く知らないんだけど、プログラムする機会があったのでまとめてみる

　オイラー数とは

オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される \[ sech(z) = \frac{1}{sinh(z)}= \frac{2}{e^{z}+e^{-z}}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E_{k}}{k!}z^{k} \] この$E_{k}$がオイラー数である
特徴として、この数列は整数であり、奇数項がすべて 0、偶数項の符号が交互に切り替わる
オイラー数$E_{k}$は$k$が偶数のとき以下の漸化式を満たす
\[ E_0 = 1 \ \ ,\ \ \sum_{i=0}^{n} {}_{2n} C _{2i} E_{2i} = 0 \] ほぼWikiのコピペだけど、前知識はこんなもん。漸化式が解ればプログラムは組めるので..

　プログラムでオイラー数を求める式をつくる

上記の漸化式のままでは、プログラムでオイラー数を求めにくいのでちょっと変形
数列和の末項を取り出すと \[ \sum_{k=0}^{n} {}_{2n} C _{2k} E_{2k} = \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n} C _{2k} E_{2k} + {}_{2n} C _{2n} E_{2n} = \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n} C _{2k} E_{2k} + E_{2n} = 0 \] 移行して \[ E_{2n} = - \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n} C _{2k} E_{2k} \] これで、偶数のときのオイラー数を求める式ができた！

　プログラム

Wiki見てる限り、オイラー数は非常にデカい数字になる
プリミティブ型だとすぐオーバーフローしそうなので、JavaのBigIntegerクラスを使って計算してみる
計算結果は

$n$	$E_n$
0	1
2	-1
4	5
6	-61
8	1385
10	-50521
12	2702765
14	-199360981
16	19391512145
18	-2404879675441
20	370371188237525
22	-69348874393137901
24	15514534163557086905
26	-4087072509293123892361
28	1252259641403629865468285
30	-441543893249023104553682821
32	177519391579539289436664789665
34	-80723299235887898062168247453281
36	41222060339517702122347079671259045
38	-23489580527043108252017828576198947741
40	14851150718114980017877156781405826684425
42	-10364622733519612119397957304745185976310201
44	7947579422597592703608040510088070619519273805
46	-6667537516685544977435028474773748197524107684661
48	6096278645568542158691685742876843153976539044435185
50	-6053285248188621896314383785111649088103498225146815121

※奇数番目は0なので省略

　プログラムの考察

40項目くらいからちょっと計算に時間がかかるなぁと感じた
そりゃ再帰関数で同じオイラー数を何回も計算させてるからねｗ
なので、一度計算したオイラー数は再計算しないように修正してみたら、結構早くなった
実装は、ハッシュマップで、オイラー数の計算結果を保存していく感じ
mainの呼び元はE(50, null);とかにしたらよいかな
本実装のように、テーブル作るのが目的なら、メインの呼び元にハッシュマップのインスタンスを持たせるのが最適