モンティホール問題をシミュレーションしてみる

最近、統計学にハマってるので、有名なモンティホール問題をベイズの定理で解いてみる
また、プログラムも組んで理論解と数値解の比較もしてみる

モンティ・ホール問題
３つの箱があり、その内１つにアタリがある
最初に自分は箱を１つ選ぶ
その後、司会者は「自分が選んだ箱」以外からハズレの箱を１つ公開する
自分は箱を選び直す権利があるが、選び直すべきか？

直感的には選び直しても確率は変わらないように思えるが、選び直すのが正解
いつ見ても不思議な問題ｗ

　理論解（ベイズの定理）

箱をそれぞれ、箱１、箱２、箱３とする
自分は箱１を選択し、司会者が箱２をハズレ宣言したとき、それぞれの箱のアタリの確率を求める

事象$A$：箱１にアタリが入っている
事象$B$：司会者が箱２をハズレだと宣言する
とすると、それぞれの箱のアタリが入っている確率は、

・箱１	：	$P(A|B)$
・箱２	：	$0$	(∵司会者は箱２がハズレと宣言してる)
・箱３	：	$1-P(A|B)$	(∵上記の余事象)

となり、箱１にある確率は「再選択しない時のアタリ率」、箱３にある確率は「再選択時のアタリ率」となる


箱１のアタリ確率はベイズの定理より $$P(A|B)=\frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$$
$P(A)$は「箱１にアタリが入っている」確率なので $$P(A)=\frac{1}{3}$$
$P(B|A)$は「箱１がアタリのとき、司会者が箱２を選ぶ」確率
箱１がアタリで、かつ自分は箱１を選んでいるため、司会者の選択肢は箱２、箱３の２択になる。よって $$P(B|A)=\frac{1}{2}$$ $P(B)$は「司会者が箱２をハズレだと宣言する」確率
箱１を自分が選んでいるため、司会者の行動は下記の４通りになる

・箱１がアタリの場合は２通り(箱２or箱３)
・箱２がアタリの場合は１通り(箱３のみ)
・箱３がアタリの場合１通り(箱２のみ)

このとき、箱２が選択できるのは２通り
よって $$P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ 以上より、
箱１にアタリがある（再選択せずにアタリを引く）確率は
$$P(A|B)=\frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$ 箱３にアタリがある（選び直してアタリを引く）確率は $$1-P(A|B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

よって、
選び直した方がアタリの確率が高い

　数値解（モンテカルロ法）

C++で組むとこんな感じ。一応、箱の数が３つ以上の場合にも対応した作り
再選択をしないパターンだと、結果がわかりにくいので、「再選択したときのアタリ確率」を求める

/**
 MontyHall.cpp
 Monty Hall問題で、再選択時のアタリ確率
*/
#include<iostream>
#include<cstdlib>
 
#define N   50000000 // 試行回数
#define NUM 3        // 箱の数
 
int main() {
    // 正解数をカウント
    long count = 0;
 
    // 試行回数分ループ
    for(long i = 0; i < N; i++) {
 
        // 箱の作成
        bool box[NUM];
        for(int n = 0; n < NUM; n++) box[n] = false;
        box[rand()%NUM] = true;
 
        // 自分の選択
        int my_select = rand() % NUM;
 
        // 司会者の選択
        int order_select;
        do {
            order_select = rand() % NUM;
        } while(order_select == my_select || box[order_select]);
 
        // 解の変更
        int change_select;
        do {
            change_select = rand() % NUM;
        } while(my_select == change_select || order_select == change_select);
 
        // 結果
        if(box[change_select]) count++;
    }
    std::cout<< "結果："<< (double)count / N << std::endl;
    return 0;
}

結果は

$ g++ MontyHall.cpp
$ ./a.out
結果：0.666652

分数にすると「2/3」になる
やはり、理論解と一致した

　結論

モンテホール問題は選び直した方が確率が高くなる
しかし、
いろんな確率の本を読んでいると、主観依存だから(ryとか、モデルの設定で変わるから(ryとか
もはや哲学の域で「確率とは何なのか」って感じで発狂したくなる
いろいろな解釈があるけど、数値解でも同様の結果になることから、僕は「確率は上がる」と主張したい